PML是一種吸收邊界條件,旨在以盡可能小的反射率實現(xiàn)入射光的吸收。具體而言,這種邊界通常用在仿真區(qū)邊緣,能與周圍材料阻抗匹配,最大限度地減少反射,同時完全吸收仿真區(qū)內的光場。理想狀況下,PML邊界產(chǎn)生零反射,但是實際上由于基礎PML方程的離散性,總會存在一定程度的反射,同時,用有限差分算法中對于PML方程的離散近似,也會帶來一定程度的數(shù)值不穩(wěn)定性。
本文介紹Ansys Lumerical FDTD和MODE中的PML邊界條件,并概述如何設置PML能夠在保證最小化反射誤差、消除數(shù)值不穩(wěn)定性的同時,避免過多的仿真時間增加和資源消耗。
圖一 PML屬性設置
如圖一所示是FDTD和varFDTD仿真區(qū)屬性中,Boundary conditions的選項卡,對于FDTD、MODE solutions仿真軟件中邊界條件的設定均可在此實現(xiàn),本文聚焦于其中的PML邊界條件。對于FDE等求解器PML邊界條件的設置也可類比參照本文內容。
基于Gedney和Zhao在[2]中提出的公式,是軟件推薦的默認選項。
- 傳統(tǒng)的單軸各向異性PML(uniaxial anisotropic PML legacy):
在FDTD或varFDTD仿真區(qū)域中,用戶可以設置PML邊界吸收特性的所有參數(shù)(圖一右側)。軟件也直接給出了設置好參數(shù)的配置組合,在大多數(shù)模擬場景下,用戶只需在四種預定義的配置(標準、穩(wěn)定、陡角和自定義)中選擇一個,并微調層數(shù)即可。整體而言,增加PML層數(shù)會降低反射,減小PML層數(shù)則會增加反射,具體每個配置文件在設計時考慮了特定的應用場景,會在仿真中具有不同的數(shù)值表現(xiàn):
標準配置文件旨在以相對較少的層數(shù)提供良好的整體吸收。PML層數(shù)的增加會顯著增加仿真時間,因此建議在使用其他配置前,首先嘗試此標準配置,如果仿真中不包含PML區(qū)域內的材料變化邊界,則該標準配置極大概率是仿真的最佳選擇。即,如果被仿真結構能夠完全延伸通過PML區(qū)域,標準配置的邊界條件即可達到最佳性能,但當材料變化界面穿過PML區(qū)域時,可能需要使用穩(wěn)定配置。
當材料邊界穿過PML區(qū)域時,可能會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定性,通常表現(xiàn)為PML區(qū)域內靠近材料界面處的場振幅出現(xiàn)局部指數(shù)增長。通常,大多數(shù)數(shù)值不穩(wěn)定問題都可以使用該穩(wěn)定配置解決,但是,穩(wěn)定配置要達到與標準配置相同的吸收性能,需要更多層PML,可以說穩(wěn)定配置是以增加PML層數(shù)為代價,提供更高的數(shù)值穩(wěn)定性。
陡角配置與標準配置類似,適用于PML邊界與周期性邊界條件相結合的情況。這種配置針對的是光以幾乎平行于PML邊界的方向傳播的情況,能提供更強的吸收性能。在非常粗略離散化(每個波長少于十個點)的情況下,該配置的吸收特性通常低于標準配置。
標準、穩(wěn)定和陡角配置都是參數(shù)固定的PML配置,自定義配置則允許用戶自定義所有PML參數(shù)值,該配置的初始值被設為與標準配置相同,如圖二所示。
圖二 自定義PML配置
圖三 為不同方向設置不同PML邊界條件
3.為所有方向的邊界設置相同的PML參數(shù)
如圖二紅圈所示,用戶可以選擇是否對不同的邊界使用不同的PML設置。取消此選項可以對笛卡爾坐標系所有方向上的邊界進行PML設置,剛提到的四種配置均可選擇。為不同的邊界使用不同的PML設置可以更好地分配資源,顯著減少仿真時間。圖二中顯示了3D模擬的PML設置表,其中僅需要在x min邊界上使用穩(wěn)定配置的PML,其余邊界使用陡角配置的PML。
在FDE模擬求解器中,對于PML的設置與FDTD和varFDTD略有不同,用戶可以在“高級選項”中指定控制PML邊界吸收特性的參數(shù),如圖三所示。FDE求解器直接采用了拉伸坐標PML(stretched coordinate PML)公式,且沒有預定義的配置,如果需要根據(jù)實際情況修改,則用戶要直接對參數(shù)進行設置。
PML邊界具有有限的厚度,它們占據(jù)了仿真區(qū)域周圍的有限體積,正是在這個空間內邊界條件完成了對光的吸收。
layers:由于離散化的需求,PML區(qū)域被劃分為多個層;
kappa, sigma, alpha:PML區(qū)域具體的吸收特性由這三個參數(shù)控制,具體定義在文獻[2]中。根據(jù)定義kappa是無單位的,sigma和alpha則需以歸一化的無單位值的形式,輸入到PML參數(shù)設置表中。kappa、sigma和alpha都使用多項式函數(shù)在PML區(qū)域內進行分級,參數(shù)alpha有時被描述為復頻移(complex frequency shift, CFS),它的主要作用是提高數(shù)值穩(wěn)定性。增大alpha/sigma會使PML邊界更穩(wěn)定,但會降低其吸收效率,這就是穩(wěn)定配置需要更多PML層數(shù)才能達到相同吸收性能的原因。要將alpha和sigma轉換成SI單位的值,需要乘以自由空間介電常數(shù)的兩倍,再除以仿真的時間步長;
polynomial:用來指定kappa和sigma多項式的階數(shù);
alpha polynomial:用來指定alpha多項式的階數(shù);
min layers, max layers:限制PML層的數(shù)量范圍。
參考文獻
[1] J. P. Berenger, Perfectly Matched Layer (PML) for Computational Electromagnetics. Morgan & Claypool Publishers, 2007.
[2] S. D. Gedney and B. Zhao, An Auxiliary Differential Equation Formulation for the Complex-Frequency Shifted PML, IEEE Trans. on Antennas & Propagat., vol. 58, no. 3, 2010.